Trong chứng minh sử dụng khái niệm lớp bên trái của nhóm H trong G. Nhắc lại: 2 phần tử a và b của G nằm ở cùng một lớp của H trong G nếu tồn tại phần tử h ∈ H {\displaystyle h\in H} sao cho a = bh, ký hiệu một lớp là aH với a là một phần tử bất kì trong lớp đó, tập tất cả các lớp ký hiệu là G/H. Dễ dàng chứng minh được 2 lớp bất kỳ sẽ không giao nhau và H cũng chính là một lớp. Gọi aH và bH là 2 lớp bất kì của H trong G ta có thể định nghĩa một ánh xạ f : a H → b H {\displaystyle f:aH\to bH} bằng cách đặt f ( x ) = b a − 1 x {\displaystyle f(x)=ba^{-1}x} . Đây là một song ánh vì nó có nghịch đảo f − 1 ( y ) = a b − 1 y {\displaystyle f^{-1}(y)=ab^{-1}y}

Như vậy số phần tử của các lớp của H là bằng nhau và bằng cấp của H. Ký hiệu [G:H] là số các lớp của H (còn gọi là chỉ số của H) ⇒ | G | = [ G : H ] . [ H ] {\displaystyle \Rightarrow |G|=[G:H].[H]}